Excellent Common Oion Nut

近期由于长时间穿一件鄂尔多斯羊毛衫（Erdos）没换衣服，导致大家对我这件羊毛衫颇有微词。恰好Erdos还是个数学家的名字，在这里就刚好转载一些他的趣闻。

以下为转载内容

数学家Erdos的故事

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　　一个数学家就是一台把咖啡转化为数学定理的机器。--P. Erdos

Erdos(1913-1996)是当代最伟大的数学家之一，他一生中同485位合作者发表过1475篇数学论文，涉及数学的许多领域。下面的这些故事主 要来自他的传记《数字情种》，当然也有一些从别处搜集来的故事。

　　前面所引的那段话暗示了一天工作19个小时以上（在古稀之年依然如此）的Erdos对兴奋剂的依赖。1979年，他的朋友 Graham与Erdos打赌，只要他一个月之内不服用安非他明，Graham就输给他500美元。Erdos成功地赢得了这次打赌，但他对Graham 说："你帮我证明了我不是一个瘾君子，但在这段时间内我一无所成。我早晨起来就盯着一张白纸发呆，毫无主意，跟普通人没有什么区别。你因此使数学的发展滞 后了一个月。"所以他随后便重新开始服用兴奋剂。　

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SF创造我们就是为了拿我们的痛苦取乐，我们死得愈早，他的计划就愈早落空。--Erdos

Erdos有一套他自己的语言。比如说，他称上帝为"SF"（Supreme Fascist，最大的法西斯份子），因为他总是折磨Erdos，藏起他的眼镜，偷走他的匈牙利护照，甚至把持着各种古怪的数学问题的解答不让他发现。 Erdos并不敬畏上帝，死亡对于Erdos的唯一意义就是使他无法再进行数学研究，所以他经常说："在坟墓里有的是时间休息。"

Erdos从事数学研究的方式很独特。他总是游历于世界各地的大学和研究所，登门拜访那里的数学家，向对方宣布："我的头脑敞开着。"然后他们便开始讨论 数学问题，一连持续几天，直到双方都厌倦了为止。他从不在一个城市里连续呆上一个月，他的座右铭是："另一个屋顶，另一个证明。（Another roof, another proof.）"

－－3－－

出生的不幸是什么时候降临在你头上的？--Erdos 常用的问候语

除了SF之外，Erdos还有很多独特的术语。他称小孩为ε，称孙辈为ε^2，称桥牌打得不好的人为o(x)，称女人为"主人"，男人为"奴隶"，结婚为 "被俘虏了"，离婚为"自由了"，音乐为"噪声"，酒精为"毒药"，进行一次数学讲座为"布道"，非数学家为"不值一提的人"，美国"Sam"，苏联为 "Joe"。

Martin Gardner第一次见到他的时候，他问Gardner："你是什么时候到的？"Gardner连忙看表，这时Graham小声告诉他，对于Erdos来 说，这句话的意思是："你是什么时候出生的？"

－－4－－

一个数学家必须是在每个星期都有一些新的研究工作才成为数学家。--Erdos

Erdos见到他的同行时，总喜欢问："你昨天有什么新的发现？"可事实上并不是每个数学家都能像他那样每年发表50多篇论文！

一次，他在巴黎演讲后，一位法国数学家问他关于某位有爵士头衔的英国数学家的近况。他回答："这个可怜的家伙两年前就已死去了。"另外一位法国数学家却 说："不可能，上个月我还在罗马见过他。"Erdos答："你应该明白我的意思，我是指他这两年没有搞出什么新东西来。"

在Erdos的术语里，"死了"是指这个人不再进行数学研究，"离开了"才是真正的生理学意义上的死亡。

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我只要拿张纸，坐下，就能思考。--Erdos

在很多张Erdos的照片上，他都是低着头的。这种姿势很容易让人以为是在打盹，但Erdos声称他是在思考问题。

1939年，Erdos曾听过M.Kac在Princeton研究所做的一个报告。事后Kac这样回忆道："在我报告的大部分时间内，他都快要睡着了。报 告的内容跟他的兴趣毫不沾边。在将近结尾时我大致说了一下我在素因子方面遇到的困难。一提起数论，Erdos马上就精神起来，让我再解释一下到底困难在 哪。不到几分钟，报告还没有结束，Erdos就打断我的讲话并宣布问题解决了！"

注：Mark Kac，波兰裔美籍数学家，主要研究概率论与数学物理，有以他名字命名的Feynman-Kac公式。

－－6－－

　　匈牙利人的问题在于，每次战争我们都站错了队。--Erdos

Erdos于1913年3月26日出生于布达佩斯的一个匈牙利化了的犹太人家庭。匈牙利和犹太，这两个来自东方的古老的民族，曾经孕育了无数的伟人。八十 三年后，当Erdos与世长辞时，Gordon Raisbeck在给Erdos的表妹的吊唁信中写道：

　　"你听说过两个哲学家讨论存在地外生命之可能性的典故吗？其中一人说，如果外星人存在，那么他们的智力水平就有可能超过我们人类， 因此我们可以预期他们已经访问地球了。但他又说：'但他们有没有留下什么痕迹呢？'另外一位哲学家俯身过来时对他耳语道：'嘘！这里我们自称匈牙利人。' 正是有了像Erdos这样杰出的人，才成就了这样的典故。"

－－7－－

我告诉我母亲，如果你用100减去250，你便得到-150.--Erdos回忆他4岁时的经历
如果说这个世界上真的有天才，那Erdos无疑是其中之一。在蹒跚学步时，他就研究日历，计算母亲还有多久才能放假回家。（那时他父亲在战争中被俄国人俘 虏，母亲在学校教书，他是由一名家庭女教师抚养。）3岁时，他便能心算3位数的乘法，4岁时便"发现"了负数。同样在4岁时，他就算出一些诸如乘火车去太 阳需多长时间之类荒唐可笑的问题来做游戏。他问她母亲的朋友们多大，然后立即心算出她们已经活了多少秒。

在上高中之前，他母亲一直不让他上学，因为害怕他会得传染病。

他的英语是跟他父亲学的，--他父亲在集中营里为了打发时间，便用一本书自学了英语。所以Erdos的英语发音一直很糟糕，因为他的父亲从来没有听过地道 的英语。

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这世上有这么多的丑恶现象，我都不敢说，假如上帝存在的话，是不是也是圣洁的。--Erdos

1919年，Miklós Horthy在匈牙利建立了欧洲第一个法西斯政权，并发起了一场血腥的排犹运动。几万犹太人被迫离开匈牙利，其中包括E.Teller,J.von Neumann, L.Szilard, E.Wigner. 这四个人都去了当时的科学圣地--德国，若干年后，他们又都逃到了美国，并参与了曼哈顿工程。

Erdos一家并没有离开。那时犹太人经常在光天化日之下遭到殴打甚至屠杀，（Wigner就曾遭暴徒袭击，）Erdos的母亲曾对Erdos说："你知 道现在犹太人实在是太难了，我们是不是要去洗礼？"六岁的Erdos回答道："那好，你可以做你想做的，可我还会和原来一样。"

这就是Erdos，从不会放弃自己原则的Erdos.

综观Erdos的一生，他藐视任何法西斯权威，无论是武装暴徒，还是不学无术的大学官僚、美国移民局官员、匈牙利秘密警察、FBI、洛杉矶交警，甚至上 帝。

注：Edward Teller，著名物理学家，被称为"氢弹之父"。

John von Neumann，20世纪最伟大的数学家之一，在纯粹数学和应用数学的许多领域中都有着无与伦比的贡献。仅"电子计算机之父"这一称谓便足以使他流芳百 世。

Leo Szilard，著名物理学家、生物学家，核链式反应的提出者及专利拥有者。1939年8月2日，在他和Wigner、Teller的建议下， Einstein给罗斯福总统写信，呼吁美国抢在纳粹德国之前研制成原子弹，--事实上，那封著名信件就是Szilard起草的。

Eugene Wigner，20世纪最重要的理论物理学家之一，获1963年Nobel物理奖。 他还是Dirac的大舅子。

－－9－－

我不明白为什么我们初次见面时他会那样--说的全是数的平方和各种各样的证明。在我渐渐了解他之后，我发现他并不是那种喜欢过分张扬的人。……所以我真的 不能解释为什么他总是在说他所知道的所有证法。--A.Vázsonyi对Erdos的回忆

1930年，17岁的Erdos第一次见到14岁的Vázsonyi时，前者对后者说的第一句话是：

"给我举出一个4位数。"

Vázsonyi答道："2,532."

"它的平方是6,411,024. 对不起，我老了，否则我会立即告诉你它的立方。"

Erdos又问道："你知道毕达哥拉斯定理的多少种证法？"

"1种。"Vázsonyi说。

"我知道37种。你知道位于一条直线上的点不能构成可数集合吗？"继而Erdos给出了一种证明方法，然后他说他必须跑了。

六十七年后，Vázsonyi仍然清晰地记得当时的情形：

"当Erdos说他必须'跑'时，他像只大猴子一样驼着背，侧着身子，摇摆着双臂，沿着街一溜儿小跑，引得行人时时回头观望。……当他年纪稍大之后，他的 步态不太像猴了，但仍有些奇怪。他老是走得很快，甚至发展到会向一面墙直冲过去，然后突然止步，猛然掉头，再往回跑。有一次他没能止住脚步，一下子撞到墙 上，弄伤了自己。"

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如果你是一只耗子，你就知道了。--Erdos这样解释他把一只小猫称为法西斯的原因
尽管受到各种反犹法律的限制，Erdos还是得以在17岁那年进入布达佩斯的Pázmány Péter大学学习。他经常与他的朋友们在公园或广场里讨论数学问题和时事。

当时的法律禁止群众聚会，经常会有警察过来盘问他们。他们感觉密探无所不在，不能够畅所欲言。所以从那时起，Erdos开始使用一些自己独有的隐语。他用 "长波人"来代表共产主义者，因为红色光的波长较长；相应地，用"短波人"来代表法西斯主义者。

政治并不能干扰Erdos和他的朋友们对数学的兴趣。Vázsonyi回忆说："他（Erdos）沉浸在素数的世界里，素数是他的一切，他与素数之间似乎 有着某种奇妙的密切关系。"大学一年级时，Erdos便证明了Bertrand猜想："在n和2n之间总存在一个素数，其中n是大于1的整数。"这个猜想 最初是在1848年由Chebyshev证明的，但Erdos的证明比Chebyshev的要简单得多。

20岁时，Erdos便宣称要用古希腊时期流传下来的Eratosthenes筛法来给出素数定理的初等证明，若干年后他果然做到了。这是后话。

注：Joseph Louis Francois Bertrand，19世纪法国数学家，在数论、概率论、几何、微分方程等领域均有贡献。

Pafnuty Lvovitch Chebyshev，19世纪俄国数学家，在数学许多领域有开创性工作，是俄国数学的奠基人。

Eratosthenes，与Archimedes同时代的学者，曾任亚历山大图书馆馆长。

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我是犹太人，而匈牙利当时是个半法西斯国家。--Erdos谈及他离开匈牙利的原因

早在12岁的时候，Erdos就清楚地知道，由于政治上的原因，他迟早得离开匈牙利。1934年，他获得了博士学位，随后便到英国的Manchester 大学进行他的博士后研究。

在Erdos抵达英国的第二天，发生了两件对于他来说颇不寻常的事情，其中一件是这样的：

Erdos以前从来没有给面包片抹过黄油，在家里都是他母亲或佣人给他抹的。他回忆道："我清楚地记得，那一次我刚去英国学习，茶点的时候上了面包。要是 承认自己从来没有抹过黄油，那太让我难堪了，于是我就试了试。还不是太难。"

就在10年前，当他11岁的时候，他第一次给自己系了鞋带。

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最好的数学既是美的，同时又是严肃的。--G.H.Hardy

在Erdos抵达英国的第二天，还发生了另外一件事，可能对他的影响更大，那就是他遇见了那个时代最为纯粹的数学家--Godfrey Harold Hardy.

数学家有很多种类型，像Erdos这样的可谓凤毛麟角。（不过好象公众心目中的数学家都是Erdos这样子的。）Hardy可谓是跟Erdos截然相反的 一类数学家。

Erdos每天工作19个小时，Hardy的生活则有规律得多：他每天只花4个小时（上午9点到下午1点）用于数学研究，下午打板球和网球，晚上与 B.Russell,C.P.Snow, G.E.Moore, A.N.Whitehead, J.M.Keynes, G.M.Trevelyan, E.M.Forster, L.Strachey, L.Woolf人热烈交谈。

Erdos只对数学感兴趣，Hardy的兴趣则广泛得多。有一年，他在给朋友的明信片里谈了他新年的6项打算："1.证明Riemann假设；2.不能让 211队在奥威尔举办的板球决赛阶段第四局比赛中出局；3.找到足以让公众信服的证明上帝不存在的论据；4.成为登上珠穆朗玛峰的第一人；5.成为苏联、 大不列颠及德意志联合王国的首任总统；6.谋杀Mussolini."

Erdos是天生的流浪者，Hardy则憎恶旅行，尤其是害怕坐船。如果Hardy不得不乘船出海，他就会给朋友寄一张明信片，宣称自己已经证明了 Riemann假设。他认为这样一来上帝就不会让他在旅途中死去，因为上帝--他"个人的敌人"--是不会让他享有证明Riemann假设的荣誉的。

Erdos其貌不扬，看上去还有些神经质，Hardy则是出了名的美男子，十足的绅士。
当然，他们也有一些共同点，比如说他们两人都不太喜欢上帝。Hardy拒绝涉足任何带有崇拜色彩的地方，为了迁就他，剑桥大学特意在校规里加了一条，使他 "可以豁免某些职责，不参加礼拜。"他们两人也都终身未婚。他们都喜欢与人合作：Hardy与Little-wood及Ramanujan的合作至今仍被 人津津乐道，Erdos则有多达485名合作者。

他们两人更重要的共同点是：他们都是纯而又纯的数学家，而且也都是第一流的数学家。

注：Godfrey Harold Hardy，剑桥分析学派后期的领袖人物，主要研究调和分析与解析数论。

Bertrand Russell，20世纪最著名、最重要、最卓越的思想家之一，曾获1950年Nobel文学奖。

Charles Percy Snow，英国小说家、物理学家和政府官员，曾任剑桥大学行政领导人。

George Edward Moore，英国实在论哲学家，著有《伦理学原理》、《哲学研究》等。

Alfred North Whitehead，英国数学家、哲学家，著有《数学原理》（与Russell合著）、《过程与实在》、《观念的历险》等。

John Meynard Keynes，有史以来最伟大的经济学家之一。

George Macaulay Trevelyan，英国自由主义历史学家，曾任剑桥大学三一学院院长。

Edward Morgan Forster，英国小说家、散文家、社会和文学评论家，著有小说《霍华兹恩德》、《印度之行》等。

Lytton Strachey，英国传记作家、批评家，著有《维多利亚女王时代名人传》等。

Leonard Woolf，英国文学家、出版家、政界人士、记者和国际主义者，他还是Virginia Woolf的丈夫。

Georg Friedrich Bernhard Riemann，19世纪德国数学家，在数学的许多领域内均有天才的开拓性工作，对20世纪数学的发展有着难以估量的深远影响。

John Edensor Littlewood，英国数学家，与Hardy密切合作达35年，共同撰写了100篇论文。

Srinivasa Aaiyangar Ramanujan，天才的印度数学家，对无穷级数和数论有着惊人的直觉。

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明年哥廷根见！--Erdos理想中的犹太人祝酒辞
到英国后，Erdos开始了他的流浪生涯。他频繁来往于英国的各个大学之间，从没有连续七天呆在同一个城市。那时候世界数学的中心是哥廷根大学，尽管希特 勒的兴起已使哥廷根开始衰落。Erdos一直想去哥廷根，但作为犹太人的他始终没有达成这个心愿。
他每年要回布达佩斯三次，看望双亲和老朋友。有一次，在他回家期间，Vázsuoni正研究一个图论问题，并找到了这个问题的必要条件。他回忆道："我几 乎天天与Erdos见面。但我犯了一个致命的错误--我在电话里把自己的发现告诉了他。我称这个错误是致命的，是因为他在20分钟后就回电告诉了我证明充 分性的方法。'该死的，'我想，'现在我只好和他合作写这篇论文了。'这个著名的Erdos数'1'究竟给我带来了什么，我几乎一无所知。"

"Erdos数"是数学界流传的一个典故。即给每一个数学家赋予一个Erdos数：Erdos本人的Erdos数是0；曾与Erdos合作发表过文章的人 的Erdos数是1；没有与Erdos合作发表过文章，但与Erdos数为1的人合作过的是2；……自然，不属于以上任何一类的就是∞.

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Wir Mathematiker sind alle ein biβchen meschugge. （我们数学家都有些疯狂。）--E.Landau曾对Erdos说的一句话

在常人眼里，数学家往往是些怪人。其实数学家多半还是很正常的，只是当他们思考起数学问题时，脑海里就容不得别的东西了。

Harold Davenport的妻子Anne Davenport回忆说："有一次在三一学院，我想大概是在30年代，Erdos和我丈夫在一个公共场所思考了一个多小时而彼此一言不发。最后， Harold说：'这不是0，而是1'，这才打破了长时间的沉寂。然后就是如释重负、一片欢欣了。他们周围的人都以为他们疯了。的确，他们是疯了。"

注：Edmund Landau，德国数学家，主要研究数论与复变函数，曾在柏林大学和哥廷根大学任教授。Erdos没去过哥廷根，Landau却访问过剑桥，他们可能就是 在剑桥见面的。据说Landau怀疑Littlewood这个人的存在性，所以专程去英国看了一下。这个故事还有另外一种版本，说Wiener在访问剑桥 时遇见了Littlewood，便说："哈！原来还真有你这么一个人！我还以为Littlewood是Hardy发表那些写得不太好的文章时所用的化名 呢！"Wiener对这个笑话感到非常苦恼，专门在自传里辟了谣。

Harold Davenport, 剑桥学派的数论专家，曾任伦敦数学会主席，有各种论著196种。

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人们研究你是因为你是一个数学家，而不是因为你研究Leibniz.--Erdos对Godel如是说

1938年9月3日发生了捷克事件。那天Erdos正在布达佩斯，他当晚便匆匆赶回英国，几周后又去了美国，到位于Princeton的高等研究所 （Institute for Advanced Study）工作。

高等研究所是30年代初由Bamberger兄妹捐资兴建的，首任所长为教育家Abraham Flexner. 这个研究所聘请的第一批研究员是：Alexander, Einstein, Morse, Veblen, von Neumann, Weyl.

Oppenheimer曾称高等研究所是一座疯人院，--许多年以后他自己成为这家疯人院的院长。在这里，Erdos肯定算不上是天才，但却仍然显得很怪 异，因为一年半以后他就因为过于"uncouth and unconventional"而被解聘了。不过天真的Erdos却把在研究所的这段日子称为他在数学上最有成果的时期。
当时的高等研究所拥有世界上最出色的一批数学家，比如说Godel. 那时候Godel的兴趣已经转向了形而上学，所以Erdos常与他吵得不可开交。

注：Gottfried Wilhelm Leibniz，17世纪德国百科全书式的学者，微积分的创始人之一。

Kurt Godel，奥地利裔美籍数学家、逻辑学家。

James Waddell Alexander，美国拓扑学家。

Harold Marston Morse，美国数学家，Morse理论的创立者。

Oswald Veblen，美国几何学家和拓扑学家。

Claude Hugo Hermann Weyl，Hilbert的得意门生，20世纪最伟大的数学家之一。

Robert Oppenheimer，美国物理学家，曼哈顿计划的主持人，被称为"原子弹之父"。

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我知道Einstein绝不信奉人格化的上帝，因为我问过他。--Erdos

如同那个时代曾待在Princeton的其他人一样，Erdos曾有幸与Einstein交往。有一次在Einstein家吃午饭时，Erdos把自己最 钟爱的素数理论讲给Einstein听。Einstein对这一理论的评价很高，但他对细节并不感兴趣。

他们两人主要讨论的话题还是政治。Erdos一向很关心政治，经常就世界政治和人类的普遍问题发表一些悲观言论。

原子弹的问世使Einstein再次成为世界关注的焦点，--尽管没有Einstein也能造出原子弹。Erdos曾问Einstein："40年前你想 到过你的质能方程会在你的有生之年得到应用吗？"Einstein说："我没料到。我曾想也许最终会得到应用，但没料到会那么快。"

其实像Einstein或者Erdos这样的科学家并不很关心自己的理论能否得到应用。一个极端的例子是Erdos曾经拜访过的Hardy，他就宣称最好 的理论是毫无用处的，比如数论和相对论，--不幸的是他举的这两个例子都错了。

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他在Princeton的大街上走来走去，挥舞着双手，旁若无人地比划着。--Louise Straus对Erdos的回忆

同Einstein相比，他的数学助手Ernst Straus与Erdos之间有着更多的共同语言。每当他在自己的宿舍里住腻的时候，他就跑到Straus的家里呆上若干天。

那时Straus夫妇经常在半夜里听到一声巨响，那是Erdos在开窗户，--他从没想到应该轻轻地把窗户放下。他不会使用淋浴器，不会把水龙头关上。他 到公用电话亭里彻夜不停地往里面塞硬币，给世界各地的数学家打电话，宣称自己在Straus家里，然后和他们讨论问题。他还邀请附近的一些朋友到这里来， 不管主人是否同意。

许多年以后，Straus说："Einstein曾对我说过……对于一个科学家而言，首要任务是解决核心问题，而不为其他问题所动--无论那些问题多难， 多么具有诱惑力。Erdos完全违背了Einstein的这一番话，但他却取得了成功。他几乎痴迷于他所遇到的每一个难题，并成功解决了其中的大部分。"

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你应该找一份实际的正经工作。--Halmos对Erdos的劝告

P.R.Halmos曾记载过Erdos在Princeton时的另一个故事。Hurewicz曾经提出过这样一个问题：Hilbert空间中有理点集合 的维数是多少？Erdos听到这个问题后，便问"Hilbert空间"和"维数"各是什么意思。有人把定义告诉他，很快Erdos便得出了答案。这是 Erdos对一个他几乎一无所知的领域作出的贡献！

注：Paul Richard Halmos，匈牙利裔美籍数学家，Springer-Verlag出版社主编。著有《测度论》等。

Witold Hurewicz，波兰裔美籍数学家，维数理论和同伦论的开创者。

David Hilbert，德国人，历史上最有影响的数学家之一。他使哥廷根成为当时世界上数学家朝拜的圣地。

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Erdos在任何时刻都集中精神思考。--S.M.Ulam

那时候Erdos手头很拮据，只能靠大学发给他的访问津贴度日。被高等研究所解聘后，他一度失去了生活来源，幸好Ulam向他伸出了援助之手。Ulam是 Erdos在剑桥结识的朋友，当他得知Erdos的窘境后，便邀请Erdos到他工作的Wisconsin-Madison大学来访问。
许多年以后，Ulam在他的自传中回忆道："Erdos身材中等偏下，极度的神经质，他几乎总是'上窜下跳'，或者挥舞着他的双臂。他的眼神表明他总是在 思考着数学问题，只有在他就一些还模糊不清的世界时事政治和人类的普遍问题发表相当悲观的言论时才会被打断。如果他突然产生了一个有意思的想法，就会一下 子跳起来，挥舞双臂，然后再坐下来。"

注：Stanislaw Marcin Ulam，波兰裔美籍数学家。早年研究拓扑，后因参与曼哈顿工程，兴趣遂转向应用数学。他是Monte Carlo方法的创始人之一。

－－20－－

他(Erdos)具有神秘的技能，可以运用最深奥、抽象的数学工具来预测原子弹的反应。--Ulam

1943年，Ulam到Los Alamos参与原子弹的研制。他极力劝说Erdos也加入他们的行列，Erdos本人也很愿意为消灭法西斯而出力。于是Erdos给他的同胞 E.Teller写信，申请加入曼哈顿工程。但Erdos在信中特别强调他战后要回匈牙利，所以理所当然地被取消了资格。

Erdos就是总喜欢和权威对着干，而且根本不遵守各种保密规则。他还给在Los Alamos的P.Lax寄了一张明信片："亲爱的Peter，我的间谍告诉我Sam正在造原子弹，告诉我，这是真的吗？"

还有一次，Erdos和包括Lax在内的几个匈牙利人一起吃晚饭。席间他们一直用匈牙利语交谈，Erdos却突然用英语大声问："原子弹的研制进展如何？ "

注：Peter Lax，匈牙利裔美籍犹太数学家，主要研究泛函分析、偏微分方程和应用数学。曾任美国数学会主席、美国原子能委员会计算和应用数学中心主任、纽约大学 Courant数学研究所所长、纽约大学Courant数学和计算实验室主任。1987年获Wolf奖。他还是北京大学荣誉研究博士。

－－21－－

数学家能在没有粉笔、纸或笔的情况下工作，他可能在走路、吃饭甚至谈天时继续思考。--Ulam

其实Erdos无论如何都不可能被接纳到曼哈顿工程中的，因为他在FBI早已有了案底。1941年，他还在Princeton的时候，有一次与两名 Princeton的学生，加久谷静雄和A.H.Stone，一起去Chicago参加一个会议，途经长岛，便下来看看海景。他们在一个无线电发射塔-- 可能是一个秘密的军用雷达--附近拍照，被警卫发现。警卫报警称"3个日本人在这里鬼鬼祟祟地拍照"，于是警察四处搜捕，终于在路上截获了他们。

FBI的调查人员问他们为什么没有看到"NO TRESPASSING"的标牌，Erdos说："我正在思考问题。""思考些什么？""数学。"

当晚，他们的身份被确认，于是得到释放。但此事已经被FBI记录在案，并对Erdos产生了不利的影响，这是后话。

－－22－－

他的到来极大地丰富了我们的业余生活。--一位Purdue大学老师对Erdos的回忆
类似的一件事情发生在1943年。那年Erdos在Purdue大学找了一份非全日性工作，总算摆脱了四处举债的日子。

在Purdue时，他不分昼夜地散步。有一次，他半夜三更在外面溜达，被警察叫住了。他没带任何证件，警察便问："你在干吗？""我在思考问题。""思考 什么？""数学。"于是他们满腹狐疑地放他走了。

Purdue位于一个与世隔绝的小镇，人们的娱乐活动很少。Purdue的老师们每周都要聚会一次，进行一些非正式的演讲和讨论。有一次演讲人没有到，又 没有准备别的节目，Erdos便自告奋勇，上台演讲。他不借助任何稿子，做了一个引人入胜的关于蜜蜂的色视觉方面的近期研究进展状况的报告。台下的人都大 感惊讶，因为从没想到只痴迷于数学的Erdos还会关注这类东西。

－－23－－

纳粹杀害了我母亲的4个兄妹。--Erdos

战争期间Erdos一直得不到家人的讯息，很挂念他们。1945年8月，他终于收到了消息。他母亲仍然健在，但他父亲已死于心脏病。

苏军占领匈牙利后，红色 植 代替了白色恐怖。红军士兵在街上随意抓人，大批匈牙利人被送往古拉格群岛，其中绝大多数再也没有回来。

Turán就曾经有过一段危险的经历。当时他在布达佩斯被一个苏联巡逻兵拦住去路，被要求出示证件。可Turán刚逃过纳粹的搜捕，身上没有任何证件。情 急之下，他拿出一本1935年出版的《托木斯克数学力学研究所通报》，上面有他和Erdos合著的一篇论文。这本战前的苏联杂志显然赢得了士兵的好感，于 是他被放行了。后来Turán遇见Erdos时，感慨地说:"没想到数论还有这样的妙用！"

注：Paul Turán，匈牙利数学家，主要研究数论和图论。（ chocolate语：Turan定理）
－－24－－

他（Ulam）真的很幸运，并没有遭受年迈体衰和老年痴呆这两大恶魔的折磨，他在依然还能求证、还能猜想的时候猝死于心脏病，死时没有痛苦，没有恐惧。- -Erdos

如果你是一位才华横溢的数学家，如果你不幸得了脑炎，如果在你做完脑部手术、恢复清醒之后，医生问你这样一个问题："8与13的和是多少？"你的感觉会是 怎样的？

这就是Ulam在1945年冬天的遭遇。也许他会从此丧失对自己数学能力的信心，--如果他在走出医院的时候没有遇见Erdos. 那天，当Ulam在妻子的搀扶下离开医院时，突然看见Erdos神气活现地出现在他们的面前。

"Stan！我还以为你已经死了，正准备替你写讣告，还打算独自完成咱们合写的论文。"

Erdos手提一个小箱子，里面装着他的全部财产，显然是无处可去，于是Ulam便邀请他去自己的家。在乘车回家的路上，Erdos缠着Ulam讨论数学 问题，根本不让Ulam休息。一到家，Erdos就要Ulam同他下棋。Ulam起初对于下棋感到很紧张，惟恐自己已经把规则忘记了。当他赢了第一盘之 后，又怀疑是Erdos故意让他的。Erdos要求下第二盘，结果Ulam又赢了。这时Erdos说："到此为止吧，我累了。"Ulam才发现原来 Erdos是认真的。
Erdos在Ulam家里住了两周，不停地与Ulam讨论数学问题。在Ulam做手术后，Erdos是第一个把他当作数学家而不是白痴或者准白痴看待的 人。

－－25－－

死亡从40岁开始。--Erdos

1948年冬，Erdos回到布达佩斯，看望了他的母亲和一些老朋友。但很快斯大林就开展了一次笔迹审查活动，大肆封锁边界、围捕公民，Erdos不得不 再次逃离匈牙利。随后几年内，他往返于美国和英国之间，居无定所。

那时Erdos已经开始在信件里不停地抱怨自己已经老了，他还经常对人说，上帝已有一只手搭在了他的肩膀上。有人问他："Paul，如果你才40岁时就感 觉如此之糟，当你50岁时又会如何？"他立即悲哀地说："更糟。"

科学家的创造年华通常是很短暂的，所以学术机构中都设有终身职位，以保证科学家的生活。Erdos的朋友们劝他尽快找一份终生职位，他们说："Paul， 你那走江湖数学家的生涯还要维持多久？"他竟回答："起码40年。"他甚至拒绝了一些大学的终身职位的邀请。

－－26－－

数学是科学的女王，数论是数学的女王。--C.F.Gauss

大约在1792年，15岁的Gauss经过深入的分析和例证，猜想素数在自然数中的的分布密度应该是1/log(x)，因而，他提出这样的公式：π(x) ～Li(x) , 当 x → +∞
∞ 1
其中π(x)表示不超过x的素数的个数，Li(x)＝∫ --- dt
2 log(t)

Gauss曾经写信给当时世界上一些著名的数学家，向他们请教这个问题，但没人能给出证明。

差不多在同一时候，Legendre通过数值计算，于1808年提出了这样一个经验公式：
x
π(x)～ -------- ， 当 x → +∞
log(x)－1.08366

容易看到，Gauss和Legendre提出的渐进公式是等阶的，实际上都等同于猜想
x
π(x)～ --- ， 当 x → +∞
log(x)
（不过Gauss的猜想更加深刻和精确。）

这就是19世纪最著名的数学难题：素数定理。这个猜想是非常令人惊异的，因为素数在自然数中的分布可以说相当"杂乱无章"，但它竟然还能用这样简单的公式 来描述！
在Gauss的一生中，肯定曾花费了不少时间和精力来思考这个从少年时便开始困惑他的难题，但我们没有Gauss关于这个问题的研究记录，所以也无法知道 他在这个问题上究竟走了多远，不过十有八九是他并没有解决这个猜想。

注：Carl Friedrich Gauss，主要生活在19世纪的德国数学家。他通常被认为是历史上最伟大的三位数学家之一，另外两个是Archimedes和Newton.

Adrien-Marie Legendre，活跃于大革命前后的法国数学家，在数学的许多方面都作出了重要贡献。

－－27－－

高等算术（即数论--编者注）中一些最美丽的定理具有这样的特性：它们极易从经验事实中归纳出来，但其证明却隐藏得极深，只有高人一等 的研究者才能把它们 挖掘出来。正是出于此种原因，赋予高等算术以神奇魅力，使之成为第一流数学家们最喜爱的科学。至于它远远凌驾于数学其他各分支之上的无限丰富性，那就更不 必提了。--C.F.Gauss

首先对素数定理的研究作出了重要贡献的是Chebyshev. 他证明了存在两个正常数C_1和C_2 ，使不等式
x x
C_1---≤π(x)≤C_2---
log(x) log(x)
对充分大的x成立，并且相当精确地定出了C_1和C_2的数值。他还证明了
π(x)log(x) ＿＿ π(x)log(x)
lim ----- ≤1≤lim -----
￣￣ x x
x→∞ x→∞
也就是说，如果π(x)log(x)/x 的极限存在，则必定是1. 这些无疑都是很重要的进展，但不幸的是，用Chebyshev的方法无法证明最后的结果。
1859年，Riemann发表了题为"论不超过一个给定值的素数个数"的论文，这是他唯一一篇关于数论的论文。在这篇仅8页的论文里面，Riemann 首次深刻而系统地研究了ζ函数
∞ 1
ζ(s)=Σ --
n=1 n^s
的性质。并且指出，素数的分布与ζ函数，特别是ζ函数的零点的性质有着密切的联系。在这篇文章里，他还提出六个关于ζ函数的猜想，其中一个就是著名的 Riemann假设：ζ(s)的所有非平凡零点都位于直线 Re(s)=1/2 上。

Riemann的这篇论文为素数分布理论的研究指明了方向，以后这方面所有的进展都是从他的思想中得来的。
1896年，两位年轻的数学家Hadamard和de la Vallée Poussin按照Riemann的思路，各自独立地利用高深的整函数理论证明了素数定理，从而解决了这个有一个世纪历史的难题。后来Landau, Hardy-Littlewood等人利用函数论的知识给出了素数定理的新证明。

以上各人的证明都需要利用ζ函数以及一些较深的分析工具。后来Wiener用实分析的方法证明了素数定理等价于"ζ函数的零点不在直线 Re(s)=1 上"。这就更让人相信，素数定理的证明必然要用到ζ函数以及高深的分析工具。

1921年，G.H.Hardy就曾经说过这样一段话："断言一个数学定理不能用某种方法证明，这可能显得过于轻率；但有一件事（素数 定理没有初等证明） 却是清楚的。如果有谁能给出素数定理的初等证明，那么他就将表明，我们过去关于数学中何谓'深刻'、何谓'肤浅'的看法都是错误的。那时我们就不得不把书 本都抛在一边，重写整个理论。"

Hardy逝世于1947年，他万万没有想到，就在他去世的两年后，两位年轻的数学家就推翻了他以及整个数学界的断言，用完全"初等"的方法给出了素数定 理的证明，进而导致了整个素数理论的重写。

注：Jacques Salomon Hadamard，法国数学家，在数学的许多方面均有贡献，被誉为Poincaré之后少有的多面手。

Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin ，比利时数学家，他是国际数学联盟（IMU）首任主席。

Norbert Wiener，美国数学家、哲学家，控制论的创立者，在调和分析、数学物理、概率论、泛函分析、非线性数学、生理学等许多方面都有巨大贡献。1964年获 美国国家科学奖章。

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我很同情非数学家，我觉得他们失去了一种最激动人心的、丰富的智力活动的回报。--Selberg

1949年，两位年轻的数学家，31岁的Selberg和35岁的Erdos分别独立地证明了素数定理。与以往的证明不同的是，他们的 证明没有用到ζ函 数，而且除了极限、e^x和log(x)的简单性质外，没有用到任何高等数学的知识，甚至连微分和积分都没有用到！可以说，他们给出的是一个完全"初等" 的证明，这一结果轰动了整个数学界。
（后来有人用 1 + x/1! + x^2/2! + … + x^N/N! 代替 e^x ，
用 Σ 1/n 代替log(x)，n≤x
给出了一个连超越函数都不需要用的初等证明。）
在Erdos的一生中，尽管发表了1475篇论文，但像素数定理的初等证明这样具有划时代意义的成果却很少。但Erdos对这件事却避而不谈，因为在这件 事上颇有争议。
当时Selberg发现了一个恒等式，他把这个恒等式告诉了Erdos. 然后他们两人分别独立地用这个恒等式给出了素数定理的初等证明。他们本来商量好在同一本杂志上一起发表文章，讲述各自的工作。Erdos便到处给数学家发 信，宣称他和Selberg已经给出了素数定理的初等证明。但有一次，Selberg碰上一位陌生的数学家，对方开口就说："你知道吗？Erdos和-- 和谁来着？--用初等方法证明了素数定理。"Selberg伤透了心，便抢先发表了论文，并因此享有该成果的大部分权益。Selberg也从此与Erdos反目。

在数学家中，优先权的争论并不少见，最著名的就是Newton和Leibniz关于微积分发明权的争论。但Erdos却具有罕见的坦荡 胸怀，他愿意与别人 分享他的数学思想，他的目的并不是要第一个去证明某个问题，而只是使这个问题得到解决--不管是不是他解决的。所以Erdos才能有创纪录的485名合作 者。但我们不能指责Selberg心胸狭窄，因为即使Newton或者Gauss这样的最伟大的数学家也会陷入优先权的争论之中。这只能说是一场悲剧。

注：Atle Selberg，挪威裔美籍数学家，在数论、调和分析、离散子群、自守函数等方面均有贡献。1950年获Fields奖，1986年获Wolf奖。 1998年5月30日至6月15日应北京大学的邀请到中国进行学术访问。

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对于Erdos来说，被剥夺了旅行的权利就像是被剥夺了呼吸的权利一样。--M.Henriksen

1954年，Erdos被邀请参加一个在阿姆斯特丹举行的学术会议，他于是便向美国移民局申请再入境许可证。那时正是麦卡锡时代，美国处于一片红色恐惧之 中。（以至于当Erdos想往匈牙利--一个共产主义国家--打电话时，都没人敢把电话借给他。）

移民局的官员不想给Erdos发再入境许可证，便向他问了各种各样愚蠢的问题。

"你母亲是否对匈牙利政府有很大的影响？你读过马克思、恩格斯或者斯大林的著作吗？"

"没有。"Erdos回答。

"你对马克思如何评价？"

"我没有资格评价他，但毫无疑问他是个伟人。"

"离开匈牙利容易吗？"--这是一句废话，因为谁都知道答案是否定的。

"不容易。我现在还不想访问匈牙利，因为我不知道他们是否会让我返回来，我只是计划去英国和荷兰。"

"如果你能肯定匈牙利政府会让你离开，你会访问匈牙利吗？"

"那当然了，我母亲在那儿，还有好多朋友也在那儿。"
在麦卡锡时代，你是不可以承认你想去一个共产主义国家的。

－－30－－

我现在在澳大利亚，明天去匈牙利。设k为最大的整数以满足……--一封典型的Erdos的信件的开头

移民局没有给Erdos再入境许可证。Erdos请了一名律师提出上诉，结果被驳回。法院没有给出任何理由。他的律师被允许查阅部分 Erdos的档案，发 现其中附有一封Erdos写给居住在红色中国的华罗庚的信："亲爱的华，设p是一个奇素数……"Erdos一年要写1500封左右的信，基本上都在讨论数 学问题。但移民局的官员显然害怕信中的那些他们看不懂的数学符号是某种密码。

另外根据FBI的记录，Erdos还曾经涉嫌在一个雷达站附近从事间谍活动。所以他被麦卡锡踢出美国是再正常不过的事了。

Erdos说："我没有取得再入境许可证便离开了美国。我想我这样做完全是按着美国最优良的传统行事：你不能让自己任凭政府摆布。"

－－31－－

他是一个流浪的学者（wandering scholar）。他时常横跨五大洲。他效忠的是科学的女王而不是任何特别地方或研究所。--Rado谈Erdos

被赶出美国之后，Erdos发现自己已经没什么地方可去了：荷兰只给了他几个月的签证，英国也差不多。西欧的各个国家都不愿意接纳一个对红色中国亲善的 人。最后，以色列接纳了他，给予他居住权，但他拒绝加入以色列国籍，并且保留自己的匈牙利护照。

1955年，Erdos在密友们的多方奔走和呼吁下，终于得以访问匈牙利。匈牙利政府颁发给他一个特别护照，证明他是匈牙利公民，但拥有以色列居住权。从 此Erdos能够自由出入匈牙利。他每年都要回去几次，看望母亲和朋友们。

但Erdos永远都不会安居在一个地方，他宣布自己是世界公民。他以惊人的速度穿梭于各个大学和数学研究所之间。他的足迹踏遍五大洲， 他在超过25个国家 里进行数学研究，在遥远的地方完成各种重要的论证，有时还在这些地方的不知名的杂志上发表自己的成果。他曾经在六十年代初和八十年代中期两次访问中国。 1990年，为柯召教授八十俪暨执教六十周年，《四川大学学报》出了一本专辑。Erdos热情地写了一篇题为《初等数论中的某些问题与成果--祝我的朋友 和合作者柯召80寿辰》的论文发表在该专辑上。

他的全部财产都装在一只破旧的小衣箱和一个在布达佩斯中心商场购买的土黄色塑料包里。

流浪，流浪，这就是一个犹太人的宿命。

注：Richard Rado，德国数学家，后移居英国。主要研究组合数学。

柯召，中国数学家，研究方向为数论、组合数学、代数等。

－－32－－

Non numerantur sed ponderunter.（不是看数，而是称重。）--俗谚

在古代匈牙利的贵族院，统计选票不是看票数，而是称重量。Erdos经常会想象上帝正拿着天平衡量他与同事们合著的论文。天平的一端放 上他与已去世的同事 合著的论文，另一端放上他与仍在世的数学家合著的论文。"当亡者的那一端下沉的时候，我肯定也要死了。"他这样说。

是的，每个人都会衰老，都会死去。所以Erdos以惊人的精力工作，--他害怕有一天他再也不能思考。

即使在70多岁的时候，他还一年发表50多篇论文。

有人曾经写过一首打油诗：

有一个猜想的确深奥
圆是否是圆的有谁知道
在Erdos用库尔德语
写的一篇论文中
一个反例已经找到

当Erdos听到这首诗时，他想用库尔德语发表一篇论文，但却找不到库尔德语的数学杂志。

－－33－－

他（Erdos）的工作节奏真是逼死人。--Ralph Faudree

不知道那些有幸受到Erdos拜访的数学家们会有何感触，至少孟菲斯大学的Ralph Faudree是很不适应。他发现Erdos每天仅仅需要3个小时的睡眠，每天很早就起来写信--都是有关数学的。他起来后，觉得别人也该起来工作了，就 把电视打开，声音开得大大的。他还会跑去敲Faudree的卧室的门："Ralph，你还活着吗？"吃饭的时候，他也会在餐巾上写写画画或是不停地讨论数 学问题。

Faudree后来回忆道："等他住上一两个星期后你都快要崩溃了，但就在他走后的几天里，我还会不断收到他的电话：'证明完成了没有？你把它交给打字员 了吗？'"

－－34－－

他（Erdos）一定是认为我有可取之处，因为后来连续10多年他每年都来路易斯维尔找我，而且一呆就是一个星期。--Michael Jacobson

1983年，Erdos第一次到路易斯维尔拜访Michael Jacobson. 那时Jacobson还没结婚，于是就跟Erdos住在一起。他对Erdos的故事早有耳闻，已经作好准备与之一起拼命工作，但情况显然远超过他的预料。

"头一天我们就工作到半夜1点，我已经精疲力竭，上楼睡觉去了。他呆在楼下的客房里。凌晨4点半，我听到厨房有响声，他把锅碗瓢盆弄得 一片响，那是在告诉 我该起床了。大约6点钟时，我跌跌撞撞地下了楼。你猜他说的第一句话是什么？不是'早上好！'也不是'睡得好吗？'而是'设n是整数，k是……'我只穿了 一件浴衣，半裸着身体，眼睛还是半睁半闭， 壊壉€眬。我认输了。我告诉他，不洗一个淋浴的话，我是没法接着研究数学的。"

－－35－－

没有人知道Erdos身在何处，甚至不可能知道他在哪个国家。我们唯一能肯定的是，他无处不在。他是最接近于遍历态的人。--R. E. Bellman

范德比尔特大学的Mike Plummer回忆了这样一件事情："1983年圣诞节前夜，我一家都在布达佩斯。这儿圣诞节可是一个隆重的节日，各家各户都团聚在一起开拆礼物。城市都 停止运作了，所有单位都打烊，连公共汽车都不开了。要想坐出租车的话，几天前就得预订。我们都穿好了衣服，等着出租车来接我们去看一个朋友。正当我们站在 屋里时，突然听到一阵敲门声。我打开门一看，是Erdos站在那里。'Plummer,'他说道，'圣诞快乐。设f(n)是以下函数……'就这样我们一直 讨论到出租车来时为止。要想止住他的话而离去那是很困难的。"

注：Richard Ernest Bellman，美国数学家。在变分法、自动控制、逼近论、控制论、运筹学等方面取得了大量成果。共发表640篇论文和44本专著。

－－36－－

Erdos有一种激励人的本领，他能把人们带到一个全新的水平。他的数学世界是我们都能够进入的。--Joel Spencer

数学家，尤其是年轻的数学家，都愿意跟Erdos讨论问题，Erdos也是来者不拒。通常他每到一个地方，就能跟那里的数学家合作发表一两篇论文。在数学 界广为流传着这样一个笑话，说他有一次坐火车，在路上跟检票员合作完成了一篇论文。

南京师范大学的单墫教授曾有幸听过Erdos的"布道"。他的讲演并不精彩，声音甚低，又常常用身体挡住黑板，只听他念念有词，迅速地写，迅速地擦，不知 他说了些什么，也不知道他写了些什么。但讲完之后，人们还是热烈地围上去，与他讨论问题，交流想法。

－－37－－

全世界的数学家，联合起来！--F.Klein

有一年，Erdos去UCLA，那里很多人都想和他讨论，便问他什么时候有空。Erdos总是回答："任何时候。"结果他的房间里经常聚集着一大帮人，而 Erdos同时和几个不同的人讨论不同的数学问题。

他满屋子转，就像一位超级棋手同时跟好几个人下棋。Bruce Rothschild说："那可真够刺激。当他正与别人合作时，趁着他还没回到你身边，你还有点时间考虑考虑。你还有机会知道别人正在着手解决什么问题。 "

Erdos自己可以同时思考好几个问题，但他却希望他的合作者精力集中在手头的问题上。当他察觉到他们走神时，他会说："不许开小差！"

注：Felix Christian Klein，德国数学家。在他所生活的那个时代，他是哥廷根乃至整个数学界的领袖之一。

－－38－－

下棋确确实实是一个数学问题，但从某种意义上说却是一个微不足道的数学问题。--G.H.Hardy

另外一个故事也是关于他的不可思议的分身术的：40年代的时候，Michael Golomb曾看见Erdos正和一位国际象棋高手Nat Fine下棋："Erdos战胜对手的机会很少，而且总是通过心理战术……我看见Nat双手托着下颌，仔细盘算着如何走下一步棋，而Erdos却似乎在全 神贯注地研究一本厚厚的医学大百科全书……我问他：'Paul，你在干嘛呢？你不是正在跟Nat下棋吗？'他回答说：'别打断我，我正在证明一个定理。 '"

－－39－－

从来没有什么下棋的问题影响过科学思维的进程，而Pythagoras,Newton和Einstein都分别在他们不同的时代改变了科学思维的方向。- -G.H.Hardy

在一次会议期间，Erdos看见单墫和另外一位中国数学家下围棋，颇感兴趣，便要求和单墫下。但他知道中国人是下"Go"的高手，就提 出得让他四个子。下 的时候，他全身"覆盖"在棋盘上（眼睛相当近视）。第一盘自然是输了，又要求再下一盘。第二盘单墫故意让他赢，他丝毫没有觉察，还非常高兴，连声说： "We are equal!"
注：Pythagoras，古希腊数学家、哲学家。他创立了历史上第一个数学团体，深刻地影响了古希腊的数学发展。

－－40－－

数学从纯理论角度看是有序而美好的，这种秩序超越了物质世界。--Erdos

Erdos只对数学感兴趣，但这并不意味着他对数学以外的事物完全无知。他会下国际象棋，会下围棋，会打桥牌，会打乒乓球，而且他还有 十分渊博的历史和科 技知识。一次，在匈牙利科学院宾馆，有人把Erdos介绍给Lajos Elekes. Erdos首先发问："你从事什么职业？"许多人在知道Elekes是一位正在写一本关于15世纪匈牙利将军János Hunyadi的书的历史学家时都会无言以对，但Erdos立即追问："匈牙利军队在1444年瓦尔纳战役中惨败于土耳其的原因是什么？"

－－41－－

从某种意义上说，数学是唯一无限的人类活动。可以想象，人类终将有一天获得物理学或者生物学的全部知识，但人类永远无法穷尽所有的数学知识，因为数学领域 是无限广大的。数字本身是无穷多的。这就是数学成为我唯一兴趣的原因。--Erdos

Erdos最后一次看小说是在20世纪40年代，最后一次看电影是在50年代。有一次，一位同事带他去航天中心看火箭，但他甚至连头都没有抬。还有一次他 被人拉去看哑剧，可表演没开始他就睡着了。

40年代的时候，UCLA曾经有过为中国举行的募捐活动。有人向Erdos提议，如果他跟他们一起去看脱衣舞，那么他们就捐献100美 元。出乎众人的意 料，Erdos竟然同意了。当他们支付了100美元时，Erdos狡黠地说："噢，我骗了你们。我取下了眼镜，便什么都看不到了！"

－－42－－

Erdos的证明总是很漂亮，使用的技巧常常比别人的更好、更高超。--M.Golomb

Erdos对许多数学领域均有贡献，而他的智慧远远超出了他的专业领域。George Purdy回忆了这样一件事："1976年我们在德州农机学院的数学休息室喝咖啡时，看见黑板上有一个有关泛函分析的问题。对这个领域，Erdos一无所 知。碰巧我知道有两位这方面的专家刚刚得出一个长达30页的解答并因此而沾沾自喜。Erdos抬头看了看黑板说道：'那是什么？那也是一个问题？'我说' 是的'，然后他就走到黑板前面眯着眼睛看了看那个简要陈述的问题。他问了几个有关符号代表什么意义，便毫不费力地写出一个两行的解答。要是那还不是魔力， 什么才是呢？"

－－43－－

上帝不掷骰子。--Einstein

数学往往是要求精确的。但Erdos开创了一种存在性问题的概率证明方法，把随机性引入证明之中。他可以证明许多现象存在的概率很大， 甚至是1，但不给出 构造。这种办法在计算机里经常会用到。想象一下这样一个难题：我是应该先迈左脚，还是应该先迈右脚？对这个问题如果非要找一个合理的回答，那就怎么也迈不 了步，于是便会陷入死循环。最好的办法是掷一枚硬币，让上帝来替我们选择。
1989年，为纪念Erdos概率证明方法的发现，参加在波兰波兹南召开的随机图论会议的数学家们举行了一次随机赛跑。当他们绕着跑道赛跑时，谁也不知道 终点在哪里。赛跑开始前，Erdos作为 宾掷了一枚巨大的骰子以决定起始的圈数，当大家快接近终点线时，Erdos又掷了一次骰子以决定再增加的圈数……Erdos开心地笑了，显然对自己所扮演 的"烦人的SF"角色相当满意。

－－44－－

有位法国社会主义者说私有财产是窃取之物，而我认为私有财产就是累赘。--Erdos

Erdos每见到一个无家可归的人，总要给他些钱。D.G.Larman回忆道："60年代初，当我还是伦敦大学学院的一个学生时， Erdos来这儿讲学 一年。他第一个月的工资刚发下来就在尤斯顿车站碰上一个乞丐找他要茶钱。Erdos从放工资的口袋里留出支付自己简单生活的少量费用后把剩下的钱都给了乞 丐。"

每当他得知一件好事，比如说艰难起步的古典音乐电台、美洲土著人运动、走失儿童抚养所，他就会捐一些钱。在他去世一年后，他所捐赠的组织还给他写信表示感 谢。

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这东西，只这一点点儿，就可以使黑的变成白的，丑的变成美的，错的变成对的，卑贱变成尊贵，老人变成少年，懦夫变成勇士。--莎士比亚，《雅典的泰门》

1984年，Erdos获得Wolf数学奖。他把5万美元奖金的大部分捐给了以他父母的名义设立的奖学金，自己只留下720美元。他曾两次去印度讲学，所 得的报酬都捐给了一位素昧平生的印度妇女--Ramanujan的遗孀。

80年代末，Erdos得知一位叫Glen Whitney的高中生想到Harvard去学数学，但还差一点儿学费。Erdos便与他此人见了面。当他深信这名学生确有天资时，就借给了他1000美 元，并告诉对方只有在不造成经济困难的情况下才还钱。10年后Whitney有能力偿还这笔钱了，便问Graham："Erdos要不要利息呢？ "Graham向Erdos询问，Erdos回答："告诉他，拿那1000美元去做我当年所做的事。"

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只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。--D.Hilbert

Erdos经常在各种数学杂志上抛出一些悬赏征解的数学问题，奖金数目从五美元到三千美元不等。许多年轻人都爱做Erdos提出的问题，当然不光是因为有 奖金。Erdos提出的问题往往重要而有趣，很多人就是在解决了这些问题后走上数学道路的。

有人曾问Erdos，假如所有的问题都同时解决了，事情会怎么样？他还支付得起吗？Erdos当然支付不起。不过他认为所有问题同时解 决的可能性太小了， 比银行遭挤兑的概率还要小。Erdos去世后，他的朋友Graham决定负责支付他在图论问题上的奖金，总额约10000美元，达拉斯的一位银行家则提出 支付其他领域里的问题的奖金。

下面是一个有三千美元奖金的问题：

如果正整数序列a1,a2,……有这样的性质：
∞
∑ 1/ai ＝∞
i=1
那么原来的数列中存在长度为任意自然数的等差数列。

－－47－－

孩子们从来不认为他们会死，我也是这样，直到4岁时。当时我正和母亲逛商店，突然意识到自己错了。我哭了起来，我知道我会死的。从那时起，我总是想再年轻 一些。--Erdos

早在四十年代，Erdos便一再在书信里宣称自己已经老了。1970年，他在洛杉矶作了一次"我从事数学的前25亿年"的讲演："当我 还小时，据说地球已 有20亿岁年龄。现在，科学家们说地球有45亿岁。这样一来，我就有25亿岁了。"听讲座的学生们画了一条时间曲线，画上Erdos正骑着一条恐龙。有人 问他："恐龙是怎么一回事？"Erdos答："你看，我忘记了，因为一个老人只记得很早时候的事，而恐龙则是昨天才出生的，就在1亿年以前。"

－－48－－

一个人衰老的第一个标志，是忘记了自己的定理，第二个标志是忘记拉上拉链，第三个标志是忘了拉开拉链。 --Ulam

70年代初，Erdos开始用P.G.O.M.来代表他的名字，意为"Poor Great Old Man"。到他60岁时，就成了P.G.O.M.L.D.，L.D.是"Living Dead"。到65岁时，又成了P.G.O.M.L.D.A.D.，A.D.意为"Archaeological Discovery"。70岁时，换成了P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.，L.D.是"Legal Dead"。75岁时，又成了P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.C.D.，C.D.是"Counts Dead"，他解释道："匈牙利科学院有200名成员。当成员满75岁时，还可以留在科学院并享有充分的特权，但已不再计为成员了。这就是'计数死亡'的 含义。"

－－49－－

我从未做过什么"有用"的事情。我的任何发现都没有，也不可能对平静的现实世界产生什么影响，不管是直接的还是间接的，也不管是正面的还是负面的。-- G.H.Hardy

与Hardy不同，Erdos对数学的应用更能容忍，事实上他的很多成果都获得了应用。但Erdos的兴趣只在"纯粹"数学方面，并且明确反对任何脱离纯 粹数学的倾向。

Vázsonyi回忆道："当我为继续当一位数学家还是去工学院当一名工程师的问题犹豫不决时，Erdos警告我：'我会藏起来，等你一去工学院，我就毙 了你。'一句话就把我搞定了。"

－－50－－

每一样能够用于善举的东西同样也能够用于恶行。归根到底，确定毒气传播的微分方程同样也能描述污染物的扩散。因此，人们既能有意散播毒气，又能防止污染的 扩散。--Erdos

二战期间，M.Kac曾在MIT的辐射实验室工作，他根据当时的研究成果在《应用物理杂志》上发表了一篇论文。然后他就收到了Erdos寄给他的明信片， 上面只有一句话："我为你的灵魂祈祷。"

－－51－－

One should have a general attitude of welcoming to everybody.--B.Russell

Erdos非常富有同情心。1945年，他到一位数学同行家里参加晚会，但刚与大家打了个招呼，便不见了踪影，直到晚会快结束时才再次 见到他。原来 Erdos得知主人有一个双目失明的老父亲，不能来参加晚会，孤零零地呆在楼上的一个房间里；于是Erdos宁愿放弃与数学同行们共度良宵的机会，而上楼 去陪伴那位孤独的失明老人。

Peter Winkler谈了另一件事："我们有一个非常聪明的学生，可惜患有脑瘫，人坐在轮椅里。当Paul第一次见到他时，便立即跑上去，询问他的病情和预后状 况。Erdos在10分钟内对这个学生的了解比我们在他整个研究生学习期间对他的了解都要多。此后Erdos对这个学生的研究工作很是关心--当时该生正 在完成他的博士论文，--提了很多中肯的建议。诸如此类的事情在他的一生中不胜枚举。"

－－52－－

每次他（Erdos）回到匈牙利时，他总要问候那些年迈的妇女们。光花在这些数学家的母亲和遗孀上的时间就要耗掉他回来后的头两三天。 --Vera Sós

1994年在布达佩斯，Erdos去看望他的一位老朋友的岳母。那位老夫人坐着轮椅，并且出于某种原因生活在精神的痛苦中。她不住地埋 怨她的保姆："别放 在那儿！""为什么不先给Erdos教授先生上茶？"临走的时候保姆把客人们送出门，Erdos给了她一份相当丰厚的小费，好象是对她所受委屈的一种安 慰。

Erdos总是尽自己的可能帮助别人。当身无分文的俄罗斯数学家来到匈牙利时，他把自己所有的钱都给了他们。

塞尔维亚数学家Aleksandar Ivic谈了另外一件事：一次他与Erdos一同在餐馆吃饭，两人正讨论一个数论问题，Erdos突然从兜里掏出一叠不同国家的钞票，并用一种柔和的语调 说："拿着吧！我知道你现在很缺外汇。"Ivic非常窘迫，对Erdos说，从贝尔格莱德目前的政治、经济形势看，他在可预见的将来是还不了这笔钱的。 Erdos坚持要给他，但Ivic最终还是没有要。

话说曾经有这么一个时期，我感受日本动漫里青春热血的召唤，爱上啦体育运动。运动大概包括跳绳（号称练习柔韧性），实心球（号称练习腰部力量），与400米跑（号称练习爆发力和心肺）。其实这只是初中升高中考试，为配合素质教育而增开的体育考试内容。后来我拿了30/30。这是至今为止我所有参加过体育项目里可以拿得出来的唯一事情。

时光匆匆流逝，热血已经被闷骚替代，大学基本除了早上跑个操再也没进行过什么像样的活动。高中时代唯一对体育的印象就是我射入自家大门的一脚世界波。到了Ph.D，似乎学生时代马上就要画上句号啦，隐隐觉得自己剩下什么事情没有完成。在一次偶然的情况下，我游荡到了水木清华bbs里的跑道人生版。板上充满了激情澎湃的帖子，我感受到鸟青春的奔放和冲动。那天我用了一天时间把精华区翻了遍，决定要在学生时代最后一奔。

话说定下决心跑马拉松之后，我就查看就近的比赛。果然阿姆斯特丹就有一项马拉松运动。我当时看到2008年的马拉松已经截止报名啦，就考虑用一年时间训练一下自己，目标是2009。

在2008年秋天，我在家里楼下的open market买了一双不知道是真是假的puma运动鞋，来代替我的那双同样是open market买的但是绝对是真的NIKKE（请注意这不是NIKE）。在那个深秋的周末，就开跑啦。由于之前大概每2周跑一次，一次大概20-30分钟，所以我一直维持这个时间，只是频率改成每周3次。持续到了入冬之后，由于山寨的奔跑装备，导致再跑啦一回15公里后，身体受凉感冒。感冒持续啦1周演变为发烧，烧好以后人就颓废鸟。外加窗外大雪纷飞，冰寒刺骨，我就开始了冬眠运动取代跑步运动。

迎来2009年的早春，我又一次回到了水木跑版潜水，我发现到一个跑马拉松入门的电子书。按照我一贯的学习机制，我download it and read it。发现里面有很多很好的安排还有小tips。有了这个，我如获至宝，决心按照它上面计划行事。里面的12周的schedule，到第8周我就感到体力不支。由于一直吃学校食堂饭菜，油水不足，平时又没啥可以摄取的有营养事物，到了第九周的训练，由于自身体力原因和again山寨的奔跑装备，我又光荣的倒下鸟。Again感冒持续啦几天后转为发烧。烧好之后开始进行世界性的travel。此后一直没有系统的训练过。回国前，用尽力气奔了一次20公里，发现时间还可以。当时幼稚的以为把这个时间成2就是俺马拉松时间鸟。在春末的时候，也就是荷尔蒙分泌的高峰期，我亢奋的用了55欧报啦今年的阿姆斯特丹马拉松。所以即使没有完成系统的马拉松计划，还是需要被赶上架。

唯一值得庆幸的是，10月初回国，购买了一双号称的李宁顶级慢跑鞋（价格比俺的路摊puma还便宜，果然要支持国货）。不穿不知道，回来跑了一次，再换回以前的鞋子感觉就像是穿了一双砖头。在17号去体育场拿号的当天，发现那里有个market，到处都在甩卖去年卖不出去的马拉松东西，俺挑了一条半价透气性良好紧身裤和一件2折恒温（Thermal fabrics）长袖衣一共50欧。总算，告别啦山寨。话说，紧身裤以前从来没穿过，还专门google啦注意事项，结果却出人意料。后文再详细描述这个问题。

17号晚上，狂嚼一盒坚果，然后在10点上床。然而辗转反侧，不能眠，起床看片，到1点才睡下。早上8点起床，蹲大号，发现腹中无物，自叹油水摄取不足。喝了罐红牛，啃了半个面包和一小袋核桃就出门。到了电车站，左等右等车不来，20分钟后看时刻表，发现今天马拉松电车挺开。一阵1.5k米狂奔赶去地铁站。发现衣服上全是汗，自认为已经热身。打算去体育场在压压腿拉拉身。这种白痴的想法我之前在多个blog上都看到，而且minzi特别google了热身不足跑马拉松的后果给我。然而没有亲身经历之前，真的不知道热身的重要性。我平时也随随便便热个身，跑15-20公里没问题。所以这次依旧依样画葫芦。

到了赛场，人山人海的跟着人流就被莫名其妙挤呀挤，挤到了跑道前。在此之前跑到简便的超开阔流动厕所小解一下，裤带还不甚触碰到前人留下的液体。提醒大家要绑好裤带。。我给自己的计划是5小时内完成（其实真正计划是6小时的关门时间内完成就好）。所以被归入最后一组。仔细瞄了一下附近的人，还好不全是大叔大妈。自尊心得到一丝安慰。

枪声一鸣。。。。我们依旧岿然不动。原来最后组要等前面的人跑光才开始。等呀等，等呀等，在鸣枪后9分钟，我们开始跑了。四周的大叔大妈，装备精良，人手几瓶能量胶，奋力直冲。丫的，我刚起跑就被N个大叔大妈抛开。开始想，体育场那么多人，是不是该开头好好跑一下，等没人啦再慢慢减成平常的速度。于是乎，在激情的节奏下，我和大叔大妈们一起狂奔出体育场，奔呀奔，发现大家一点减速的意头都没有。很是惊讶，以为自己站错了组。好在之前喝了违禁饮料红牛，所以也感觉不错，就没太在意。

一路奔了2-3公里，大家速度才慢慢下来，不过感觉还是比我平时跑的要快些，但也可以接受，于是乎就跟着大家一起跑。期间见到早已等在街角的NY，不忘振臂高呼。第一个7公里是在绕圈，绕vondelpark一圈。在一圈以后又见到NY，不忘击掌示意。第一个10公里处，用时1小时10分钟，扣去等待时间，速度是10公里每小时。只比平时休闲跑快了一点点。自我感觉良好。心想这么跑下去4小时内完成都是有可能的。跑了不久见到YY，手上拿出一个让我很不放心的相机，然后很颤抖的按了两下。我个人觉得肯定是模糊的，不过为了自己为数不多的照相机会还是摆出啦一个自我感觉良好的post。

第二个10公里是沿着amstel河向下跑，沿途路过经常骑车进过的amstel park和风车。熟悉的风景，跑的又有些无聊，就开始注意路边的小mm和大mm们。看到有很可爱的小mm就跑过去和她击掌一下。男性一律无视。Amstel附近都是大庄园和大私宅，号称荷兰地价最高的地区之一。但是这里mm们的素质其实和学校食堂见到的也差不多。看来荷兰人的面部轮廓大致就那么几类。心中还在做很多无聊思考的时候，在19公里出，发现遥远的前方有一个人突然倒下啦，然后救护人员飞奔过来，当我跑过去的时候发现那个人两眼紧闭，似乎没有呼吸。今天查了一下新闻，还好没发现死亡消息。所以这个大哥应该 是ok。

22公里的水站，我顺手拿了2根大香蕉，因为当时是午饭时间。吃完就发现胃部有点疼，又估计岔气，所以就把速度减下来，之前的速度基本平均是9.8公里/小时，应该是高于我平时的速度（平时无法测速，个人觉得是9公里）。减下来还是不行，就干脆走一走。走走跑跑终于好了，结果在23-24公里时突然觉得左腿大腿有点抽。心里一惊，果然，从来没跑过20公里以上，没有意识到肌肉抽筋的严重性。只好放慢速度，让抽筋现象不那么明显。后来回来google一下，发现大家都说要一直跑，千万不要走。感觉可能的确一走就走到抽筋。话说这一抽一抽，抽过25公里的时候比5小时完成的速度还要快点。心想，那就跑个5小时以内就好啦，不勉强，慢慢来。

怎知道过了25以后，左右腿大腿一起抽。抽的不亦乐乎。这时候叫ZY给我准备个能量饮料，自己狂啃啦2块自备巧克力，希望能让肌肉吸收些营养。这是已经完全无视路边的小mm和大mm。但是突然从身边慢速经过啦3个香蕉。他们的速度之慢，慢到让人惊叹。但是我这时候只能走走跑跑，所以平均下来基本速度是一样的。我就和这3只香蕉结伴啦一直到30公里。这时候遇到ZY夫妇，接过能量饮料心里这个激动。鼓起勇气要去超越香蕉。然而，左大腿抽完，右大腿抽，大腿抽完，小腿抽。眼看的香蕉以龟速离我越来越远，心中十分悔恨开始没有做准备运动，一开始和大叔们狂奔的太high。到了33公里，我在远远看到ZY和他手上的相机，咬着牙最后跑了起来。想不到，这一跑，跑到34公里就成为这次的马拉松我的最后一跑。

35公里处基本就在我家门口，可惜由于可耻的抽筋，已经无法跑起来啦，只能黯然的走过了家门口。在录像中，这段表情十分之痛苦。之后的路程，就是完全的，绝对的，把自己作为一个shameless people来自慰。无论多么纯洁的眼神，多么热情的掌声，多么辛辣的讽刺，都无法让我跑起来。我就低头快步走过啦4公里。期间，跑全马的人基本要么上了收容车，要么冲刺完，路上慢跑的人已经不多。这时半马的人以千军万马之势，一群群，一票票的从我身边疾驰而过。这场景正是发生在最繁华的museumplein处。最后，除了肌肉抽筋，膝盖关节已经不行啦，右腿无法弯曲，只能靠左腿拖着走。

最激动的奥林匹克体育场内，万人喝彩，全体冲刺，只有我一个人一瘸一瘸走完。最后看到了终点的时候，装模作样的摆了两下臂，从录像里看，就好像公鸡被宰时候最后拍的两下翅膀。总之，不知是喜是悲的，我完成啦自己第一个马拉松。时间是5小时17分41秒。算是迎着夕阳，真正的青春奔跑啦一回。在此之后，到写blog为止，我处在全身疑似瘫痪状态。走路无法弯曲关节，坐下来就起不了，胸疼脖子疼，腰疼屁股疼，还伴随后小脑的轻微刺痛。google说是膀胱经的问题？？？热血的代价。

performance：

http://evenementen.uitslagen.nl/2009/amsterdammarathon/details.php?t=en&s=2681

tips：

真的要做热身。能跑一定要跑，能走就不要坐下。开始的时候不要被大叔激发小宇宙，马拉松是一个人的比赛。以上。

感谢：

首先感谢minzi对这次跑马的支持，还有对我运动的支持，希望能一直一直支持。感谢NY YY夫妻和ZY LW夫妻为我不辞劳苦的拍照和加油，同时甘做人肉担架。感谢水木bbs的很多帖子，虽然我从来不去灌水。

以下是

限制——级故事：美丽的vondelpark被一排排小树林围绕，层次分明的树林和树叶缝隙里忽闪忽闪的阳光。这样的环境很容易刺激跑者们的尿道括约肌。由此，出现啦，一片一片，此起彼伏，接连不断的面向大自然的排尿人群。有男有女（this is true），有老有少。同一个世界，同一个姿势（this is true）。我也添上了浓墨重彩的一笔。

限制——级故事：话说google啦紧身衣的坏处就是，会摩擦小jj，一路磨最后小jj就会重伤。提供的建议是穿高叉内裤。高叉泳衣我听过，高叉内裤是为何物？而且比赛前根本无处寻觅。然后就穿了普通平角内裤。一路下来，小jj倒是安然无恙，但是屁股被摩擦的很疼。难道这就导致啦膀胱经effect？可悲的不协调平角裤和紧身裤。

人生中的第一个20公里。时间一开始以为是1小时48分，其实是2小时08分。自我感觉还是满意。就是脚估计一段时间里是行动不便啦。

点击查看路线大图

步行前往 Molukkenstraat 的路线

20.5 公里 – 大约 4 小时 9 分钟

愤怒的青春

晚上4点。不明原因的醒来。似乎做了一个有点悲伤又十分平淡的梦。穿插啦过去和未来，却没有现在。好像是在一条山中的古驿道上，我独坐山中继续思考着过去和未来。这种糟糕的循环让我不得不从睡梦中苏醒来强制停止它。

打开电脑，我翻看到了一系列秦岭的照片。深秋关中的山。照片似乎让我想起，我是在西安的时候爱上爬山的。西安的四周都是山，整个城市被山环绕着。天气好的时候在城墙上就可以看见四周的峻岭。

寻找些不知名的小山，然后从后山逃票上山是一件充满快乐的事情。通常这种路不会遇到游客，只有住在山中和山脚下的老乡。宁静的路，四周也没用路标，只能不停的问人。有时候还会碰见山中的隐士。

山里风，一直是我喜爱的。不同季节，风里的味道也是不同的。爬山的汗很快就被风吹干，带走体内的热量，可以让人冷静下来。山里的风声总是掺杂啦其他的声音，十分自然。

我小时候一直有一个疑问，为什么山路必须要连绵曲折，为啥不能是一条直上直下的楼梯。刨去工程学的意义，这种曲折路可以让人从不同的角度欣赏同一个物体，看它的每一个细节和韵味。

我好怀念呀！

起，伏，然后是漫长的平淡。压抑的平淡。面对如此这般的生活，就是时候回归美丽的山峦的怀抱啦。

令Marcel Pagnol留恋忘返的Provence的山。

回到amsterdam，已经完全没有地中海热浪的感觉。秋风一直吹个不停，大家也都穿起啦厚厚的外套。这个夏天，我乘着乱七八糟航空公司的飞机绕了地球一圈。看了不同的文化圈，不同的宗教，不同的程度的文明，见了很多intelligent的思想者和同伴，当然也有enemies。哦，还见识了不同层次的paper。

Picasso museum旁边的精品店

我记得在安达充的彩虹辣椒漫画里面有这么一句话：“让孩子们去远行吧，这样他们才能成长。”

地中海的浪漫情怀

航海家的探索精神一直是我最佩服。人生中就该不停的调整自己的脚步和路线，就好像航海一般。遇到暴风时候就该好好休整，补充资源和进行探索，遇到顺风时就该乘风破浪同时。对未知的东西保持充分的热情和学习动力，保持自己对周围状态的洞察力，和欣赏绚丽多姿的世界。

吉卜赛女郎

在生活中，很容易迷失啦自己。刻意迎合他人并不是我的意愿但是却无法回避。慢慢学会欣赏聪明compromisation，学会去了解不同思想所追求的方向。最后发现在迷途中依旧可以找属于自己的东西。找出自己真正欣赏的和讨厌的东西其实真的是很复杂和艰辛的一项工作。又或许并不存在“真正”的。

龙舌兰上的诗歌？

带着困惑，我结束啦我夏天的旅行。这种困惑的产生带给我快乐和思考，并让我更加期待生命中新的一个秋天。

教堂里的井水

纪念一下这个夏季

一如既往的迷茫

和beautiful minds一起。

在芝加哥经历了Hyde Park的2个星期摧残后终于迎来啦号称休闲的周末。已经5年没有谋面的闷骚男从佛罗里达不知道叫什么的城市飞了过了。原定的4天豪华尼亚加拉大瀑布自驾游，由于闷骚男浪费太多假期回国泡妞，就缩水成为2天1夜芝加哥郊区游。

中午我们在贫民区附近的号称恶俗red lobster吃完龙虾后就打算驱车本来说好要去附近的state beach park看日落，结果不知道怎么拐着就跑去啦一个美国花园，以下是我在花园里拍的：

美国的菠菜美国的葱 美国的日本花园

我们在芝加哥的休闲游看到啦以下的令人印象深刻的物体：美国的苹果，美国的梨，美国的葡萄，美国的菠菜，美国的包菜，美国的葱，美国的柳树，美国的日式花园，美国盆景二手市场，美国的英国花园，美国的梧桐，美国的……。我们兴致高昂的走完整个花园并且意犹未尽的驱车去了沃尔玛继续参观美国人民的日常生活。在沃尔玛中，我以低廉的价格购买了正版大富翁，朋友A购买啦侦探游戏，2箱瓶装bacardi，若干生活用品。感受了物质丰富的真实美国。

接下来谈谈变化。话说在时隔5年后，大家的谈话topic都有了本质性的变化。五年前是在意气风发的谈论资本主义的奢靡和淫乱。然后同时把主人公自我带入yy一番。五年后我在阿姆斯特丹过着朝9晚11的paper生活，天天和tm网聊，周末就是和已婚人士一起玩boardgame，每年平均回国1.5次。闷骚男过着朝6晚？的office生活，一个月飞一次看老婆，每晚似乎多个女性汇报生活状况，周末常常会看到他上网不知道在干嘛，今年第一次回国。生活似乎和想象有些出入。

毕业前我好像热衷过一段时间和别人商量搞网站圈钱的事情，闷骚男直接把自己定位为学术青年，号称要搞个PDE。我当年想着赶紧混个学位回国赚钱，闷骚男号称靠老爸的人都是loser。现在我天天琢磨着搞network为了混个academica position，闷骚男想着怎么找老爸回国捞个肥缺。我记得我们当年一周就洗2次澡，每次洗完必喝健力宝。现在我只喝“健康”饮料ginger ale和light coke，闷骚男为了保持头发杜绝啦所有碳酸饮料，当然我们都是天天洗澡di。

我记得我每天睡10小时，毕业那年每个月要得一次感冒，2个月一次发烧，无论是寒冬还是酷暑，绝无遗漏。闷骚男号称体力强人，天天只睡6小时，其他时间貌似在准备签证口语和到处找出租屋。现在我每天似乎只能睡9小时，今年得了一次感冒貌似还是吃烤肉染上的猪流感。闷骚男似乎还能每天睡6小时，这次见我告诉我胸腔被老美的王老医生误诊得了慢性炎症要不停喝水，直接结果就是要不停如厕。可见是经历了很多肾亏的夜晚。

毕业后的第一个5年就这么过去啦。似乎人生都还刚起步但是道路却已经走的很窄啦。今年我又要重新进入骡马大会。不免开始憧憬和担忧未来的5年会是什么摸样。

话题回到第二天的旅游。早上我们驱车赶往此行的最终目标，state beach park，以下是我们到达后的景象：

画外的表述是：那个老伯伯是在海滩上捡垃圾的。

那扭曲的沙面，

就犹如充满懊悔的青春。

带着无法宣泄的感情，

在无人的海滩上，

我迎着朝阳奔跑了，

然后弄丢了我在国内新买的100rmb备用眼镜。

回到酒店后，捎上才刚刚起床的朋友A，又驱车前往了此行的最终终极目标，chicago outlet。一逛就是6小时，我就不一一把商品价格说出来，以免刺激在欧洲和国内的各位同仁。

圆满的完成了令人难忘的芝加哥放松休闲游，他乡遇故知现代版最后就在雨中缓缓落下啦帷幕。留给我个人的是逝去的3373.7刀，留给闷骚男的是10公里机场高速的堵车。

迎着朝阳奔跑的背影。 END

刚刚出生的袋鼠还不能出来。

考拉不属于熊类的重要依据是他不需要冬眠。但是考虑一天睡20个小时。。。

眼神很恶毒的肥鸽，victoria crown pigeon

不知道名字的形象很恶搞的鸟。

海豹 鹿 动作很快无法抓拍 叫做red panda的古怪狸猫物体 再来一张

醒来大便的考拉。。。眼神依旧迷离

end

Berlin战争纪念馆

被炸的教堂

洪堡火车站的顶

20周年

国会大厦

涂鸦的电视塔

布兰登堡门前

布兰登堡门

我住的旅馆注意右下角

“古老”的悉尼街道

误认为香港的街道

海边的公园

歌剧院

歌剧院2

蚂蚁爬桥

远景

桥上

在study group认识了来自墨西哥的卡洛斯。应邀一起周末去吃地道墨西哥家常菜。比起吃起来很像自家炒牛柳的主餐，令我印象深刻的就是他们的饮料。happy的拉丁美洲人似乎喝cocktail不分餐前餐后。号称Tequila可以增加食欲。我要了一杯michelada，里面有辣椒，酱油，盐，柠檬水，然后加墨西哥啤酒。感觉十分。。。。。独特。

昨晚回家一点睡意都没有，然后1点睡，早上7点就醒了。实在不知道干嘛，就决定跑步。想着随便跑跑，连水都没带就出去啦。结果一跑就一口气跑完10公里。时间是59分28秒。第一次跑进1小时。主要原因是买了双专门跑步的袜子，所以脚板不麻啦。估计墨西哥菜后遗症也有影响。

没坚持1周4次跑，结果今天跑完，膝盖又有感觉。估计这个感觉要一直带去悉尼啦。